一、概述

欧式距离（Euclidean Distance）是一种在欧几里得空间中度量两个点之间距离的常用方法，其公式根据空间维度的不同而不同

二、公式

1、二维空间

对于二维平面上的两个点 $\color{red}P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$ ，它们之间的欧式距离 $\color{blue}d(P,Q)$ 计算公式为：

$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

2、三维空间

对于三维平面上的两个点 $\color{red}P(x_1,y_1,z_1),Q(x_2,y_2,z_2)$ ，它们之间的欧式距离 $\color{blue}d(P,Q)$ 计算公式为：

$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

3、n 维空间

对于 $n$ 维空间上的两个点 $\color{red}P(x_{11},x_{12},...,x_{1n}),Q(x_{21},x_{22},...,x_{2n})$ ，它们之间的欧式距离 $\color{blue}d(P,Q)$ 计算公式为：

$d(P,Q)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{2i} - x_{1i})^2}$

三、python实现

代码实现：

import numpy as np# 定义两个二维点
p1 = np.array([1, 2])
p2 = np.array([4, 6])# 计算欧氏距离（方法一：手动计算）
distance_manual = np.sqrt(np.sum((p2 - p1) ** 2))
# 计算欧氏距离（方法二：使用 np.linalg.norm）
distance_norm = np.linalg.norm(p2 - p1)print(f"手动计算的距离: {distance_manual}")  # 输出: 5.0
print(f"np.linalg.norm 计算的距离: {distance_norm}")  # 输出: 5.0# 定义两个三维点
p1 = np.array([1, 2, 3])
p2 = np.array([4, 6, 8])# 计算欧氏距离（方法一：手动计算）
distance_manual = np.sqrt(np.sum((p2 - p1) ** 2))
# 使用 np.linalg.norm 计算欧氏距离
distance = np.linalg.norm(p2 - p1)print(f"手动计算的距离: {distance_manual}")
print(f"np.linalg.norm 计算的距离: {distance}")

输出结果：