其实我不太记得住什么是clark变换、park变换，我每次要用到这个名词的时候都会上网查一下，因为这就是两个名词而已，但是我能记住的是他们背后的含义。
经过【从零开始实现stm32无刷电机FOC】系列后应该对clark变换、park变换有了解了，本节对他们再介绍一遍，本节的重点是等幅值变换。

clark变换

本质是将abc相的数据投影到αβ轴上，如下图所示，αβ轴是静止的相互垂直的坐标轴。

$$\{\begin{array}{l}\alpha =a-b\ast \cos 60°-c\ast \cos 60°\\ \beta =b\ast \cos 30°-c\ast \cos 30°\end{array}$$
写成矩阵形式就是：
$$\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$$
其中的矩阵就是clark变换矩阵：
$${\mathrm{M}}_{clark}=\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$$
clark逆变换就是将αβ轴的数据投影到abc相，如下图所示。

$${\mathrm{M}}_{inclark}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]$$

park变换

本质是将αβ轴的数据投影到dq轴上，也可以看作αβ轴旋转到dq轴，如下图所示，dq轴是旋转的相互垂直的坐标系。

$$\{\begin{array}{l}d=\alpha \ast \cos \theta +\beta \ast \sin \theta \\ q=-\alpha \ast \sin \theta +\beta \ast \cos \theta \end{array}$$
写成矩阵形式就是：
$$\left[\begin{array}{c}d\\ q\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$$
其中的矩阵就是park变换矩阵，这个矩阵就是一个旋转矩阵：
$${\mathrm{M}}_{park}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
park逆变换就是dq轴转到αβ轴，就是反向旋转，反向旋转矩阵直接求逆矩阵就可以了：
$${\mathrm{M}}_{inpark}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$
$$\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]={\mathrm{M}}_{inpark}\left[\begin{array}{c}d\\ q\end{array}\right]$$

等幅值变换

在数学推导以及代码实现上，我们希望abc相坐标系、αβ轴、dq轴的最大坐标轴长度统一，各种数值能够缩放到单位量，如果最大电流是1A，最大电压是1V，这样能够方便推导和代码实现，等幅值变换就是为了这个效果。
park变换是旋转矩阵，旋转不会改变坐标轴长度，因此park变换不需要再加等幅值变换，或者说它天然就是等幅值变换。
分析一下clark变换对坐标轴长度的影响，假设abc相的mos管桥臂分别处于[1,0,0]开关状态，那么abc相电流分别为[1,-$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{2}$]，用clark变换进行计算一下：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]$$
可以看到α轴的长度为$\frac{3}{2}$，这意味着幅值为1的abc相坐标轴经过clark变换后得到的αβ轴幅值为$\frac{3}{2}$。而我们想要最大幅值为单位长度1，因此如果在clark变换矩阵前人为乘一个$\frac{2}{3}$系数，αβ轴就在单位长度范围内了，如下所示：
$$\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$
这个乘$\frac{2}{3}$就是clark变换的等幅值变换，是指将abc相的幅值和αβ轴的幅值统一大小，方便推导和写代码。
这时候会有疑问，难道可以随便乘$\frac{2}{3}$吗？是的，可以随便乘，如果你不嫌麻烦，你乘1万也行，因为最终用到的是αβ轴两者的比例关系，αβ轴的长度同时放大和缩小又有什么关系呢，最终体现在SVPWM内两个基础矢量的比例关系。

再来分析下clark逆变换，假设αβ轴长度分别是1,0，那么abc相的长度经过clark逆变换后会变成多少呢：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right]$$
竟然直接变成了等幅值的abc相，这意味着clark逆变换不需要额外加等幅值系数，它天生就是等幅值变换的。这是为什么呢？我们可以将clark变换和clark逆变换直接乘一下：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 0\\ 0& \frac{3}{2}\end{array}\right]$$
我们直观地想，任何一个变换乘以其逆变换，结果当然要等于没变换，而经历一次clark正逆变换后，得到的长度是原先的$\frac{3}{2}$倍，正好可以对应clark变换带来的$\frac{3}{2}$倍以及clark逆变换带来的1倍。
只要保证任何一个变换乘以其逆变换，结果当然要等于没变换，矩阵前面的变换系数可以随便放置，比如等幅值变换全部放在clark变换前面，等功率变换分别放在clark变换和clark逆变换前面：
$$等幅值变换：\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
$$等功率变换：\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\ast \sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$