一、分治算法（Divide and Conquer）

概念：

分治算法是将一个复杂问题分成若干个子问题，每个子问题结构与原问题类似，然后递归地解决这些子问题，最后将子问题的结果合并得到原问题的解。

特点：

将大问题递归分解成小问题。
子问题之间通常 相互独立。
最终通过合并操作构造原问题的解。

典型场景：

快速排序（Quick Sort）
归并排序（Merge Sort）
最大子数组和（Divide and Conquer 解法）

Java 示例（归并排序）：

public class MergeSort {public static void mergeSort(int[] arr, int left, int right) {if (left >= right) return;int mid = (left + right) / 2;mergeSort(arr, left, mid);mergeSort(arr, mid + 1, right);merge(arr, left, mid, right);}private static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {int[] temp = new int[right - left + 1];int i = left, j = mid + 1, k = 0;while (i <= mid && j <= right) {temp[k++] = arr[i] <= arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];}while (i <= mid) temp[k++] = arr[i++];while (j <= right) temp[k++] = arr[j++];for (int m = 0; m < temp.length; m++) {arr[left + m] = temp[m];}}
}

二、动态规划（Dynamic Programming）

概念：

动态规划通过将问题分解为子问题，记录已解决的子问题的解（通常用数组或表格存储），避免重复计算，从而提高效率。

特点：

子问题之间存在 重叠子问题（Overlapping Subproblems）。
存在 最优子结构（Optimal Substructure）。
使用 记忆化搜索 或 自底向上表格法。

典型场景：

斐波那契数列
背包问题
最长公共子序列（LCS）

Java 示例（斐波那契数列）：

public class FibonacciDP {public static int fibonacci(int n) {if (n <= 1) return n;int[] dp = new int[n + 1];dp[0] = 0; dp[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];}return dp[n];}
}

三、回溯算法（Backtracking）

概念：

回溯是一种试探性方法，逐步构造问题的解，如果发现当前步骤不能得到正确解，就 回退（Backtrack） 到上一步重新尝试。

特点：

适用于组合、排列、子集等枚举类问题。
类似深度优先搜索（DFS），关键在于剪枝（优化性能）。

典型场景：

八皇后问题
子集生成、全排列
数独求解

Java 示例（全排列）：

import java.util.*;public class Permutations {public static List<List<Integer>> permute(int[] nums) {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();backtrack(nums, new boolean[nums.length], new ArrayList<>(), result);return result;}private static void backtrack(int[] nums, boolean[] used, List<Integer> temp, List<List<Integer>> result) {if (temp.size() == nums.length) {result.add(new ArrayList<>(temp));return;}for (int i = 0; i < nums.length; i++) {if (used[i]) continue;used[i] = true;temp.add(nums[i]);backtrack(nums, used, temp, result);temp.remove(temp.size() - 1);used[i] = false;}}
}

四、三者的联系与区别

特性/算法	分治（Divide & Conquer）	动态规划（DP）	回溯（Backtracking）
子问题独立	是	否（有重叠子问题）	否
解空间结构	树（递归分解）	网格/图结构	树（搜索树）
是否剪枝	否	是（通过缓存）	是（通过条件剪枝）
应用场景	排序、矩阵分割、最大子数组	最优化问题、序列问题	组合问题、数独、图遍历等
解法策略	递归 + 合并	递归 + 记忆/状态转移	DFS + 回退 + 剪枝