公钥密码

密码学中的常用数学知识

群、环、域

1. 代数系统：由集合及集合上的运算构成，运算需满足封闭性（运算结果仍在集合内）和结合律（(ab)c=a(bc)）。
2. 群：满足以下条件的代数系统 (G, *)：
   • 封闭性：∀a,b∈G，a*b∈G；
   • 结合律：∀a,b,c∈G，(ab)c=a(bc)；
   • 单位元：存在 e∈G，∀a∈G，ae=ea=a；
   • 逆元：∀a∈G，存在 a⁻¹∈G，aa⁻¹=a⁻¹a=e。
   • 有限群：G 为有限集，元素个数为群的阶；Abel 群（交换群）：运算满足交换律（ab=ba）。
3. 半群：仅满足封闭性和结合律的代数系统。
4. 环：代数系统 (R, +,・)，其中：
   • (R, +) 是 Abel 群；
   • (R,・) 是半群；
   • 乘法对加法可分配：a・(b+c)=a・b+a・c，(b+c)・a=b・a+c・a。
5. 域：环 (F, +,・)，其中非零元素对乘法构成 Abel 群（即每个非零元素有乘法逆元）。
   • 例子：有理数域 (Q, +,・)、实数域 (R, +,・)、复数域 (C, +,・)；有限域（Galois 域 GF (q)，q 为素数幂）。

素数和互素数

1. 因子与整除：若存在整数 m 使 a=mb，则 b 整除 a（记为 b|a），b 是 a 的因子。
   • 性质：若 b|a 且 a|b，则 a=±b；若 b|a 且 b|c，则 b|(ma+nc)（m,n 为整数）。
2. 素数：大于 1 的整数，因子仅为 1 和自身；非素数（大于 1）为合数。
   • 整数分解唯一性：任一整数可唯一分解为素数乘积（如 91=7×13）。
3. 最大公因子（gcd）：两数共有的最大因子，记为 gcd (a,b)。
   • 互素：gcd (a,b)=1 时，a 与 b 互素。
4. 最小公倍数（lcm）：两数共有的最小倍数，记为 lcm (a,b)。
   • 性质：若 a 与 b 互素，则 lcm (a,b)=ab。

模运算

1. 模与同余：a mod n 表示 a 除以 n 的余数（0≤r<n）；若 a mod n = b mod n，则 a≡b mod n（a 与 b 模 n 同余）。
   • 同余性质：n|(a-b) ⇨ a≡b mod n；若 a≡b mod n 且 b≡c mod n，则 a≡c mod n 等。
2. 模运算规则：
   • (a+b) mod n = [(a mod n)+(b mod n)] mod n；
   • (a-b) mod n = [(a mod n)-(b mod n)] mod n；
   • (a·b) mod n = [(a mod n)·(b mod n)] mod n。
3. 逆元：
   • 加法逆元：∀x∈Zₙ，存在 y 使 (x+y) mod n=0（如 2 在 Z₈中的逆元为 6）；
   • 乘法逆元：若 gcd (x,n)=1，则存在 x⁻¹ 使 (x・x⁻¹) mod n=1（Zₙ^* 中元素均有乘法逆元，Zₙ^* 是 Zₙ中与 n 互素的元素集合）。

模指数运算

1. 阶：满足 aᵐ≡1 mod n 的最小正整数 m，记为 ordₙ(a)。
   • 定理：aᵏ≡1 mod n ⇨ ordₙ(a)|k（m 整除 k）。
2. 快速指数算法：将指数分解为二进制，通过反复平方简化计算（如 a¹⁵=a⁸・a⁴・a²・a¹）。

费尔马定理、欧拉定理、卡米歇尔定理

1. 费尔马定理：若 p 是素数，gcd (a,p)=1，则 aᵖ⁻¹≡1 mod p；推广：aᵖ≡a mod p（a 为任意整数）。
2. 欧拉函数 φ(n)：小于 n 且与 n 互素的正整数个数。
   • 性质：若 p 是素数，φ§=p-1；若 n=pq（p,q 为素数），φ(n)=(p-1)(q-1)。
3. 欧拉定理：若 gcd (a,n)=1，则 a^φ(n)≡1 mod n。
4. 卡米歇尔函数 λ(n)：使所有 gcd (a,n)=1 的 a 满足 aᵐ≡1 mod n 的最小 m。
   • 性质：λ(ab)=lcm (λ(a),λ(b))（a,b 互素）；λ§=p-1（p 为素数）。

素性检验

1. 爱拉托斯散筛法：通过删除小于等于√n 的素数倍数，判断 n 是否为素数。
2. Miller-Rabin 概率检测法：基于 “若 n 是素数，则 x²≡1 mod n 的解为 x≡±1 mod n”，通过多次测试降低错误概率。
3. AKS 算法：确定性素性检验，基于多项式恒等式，时间复杂度为多项式级。

欧几里得算法

1. 基本欧几里得算法：求 gcd (a,b)，基于 gcd (a,b)=gcd (b,a mod b)，通过辗转相除实现。
2. 推广欧几里得算法：不仅求 gcd (a,b)，还能求 x,y 使 ax+by=gcd (a,b)；当 gcd (a,b)=1 时，x 是 a 模 b 的乘法逆元。

中国剩余定理（CRT）

• 若 n₁,n₂,…,nₖ两两互素，N=n₁n₂…nₖ，则方程组 x≡aᵢ mod nᵢ（i=1,…,k）有模 N 的唯一解：
  x = Σ(aᵢ・N/nᵢ・(N/nᵢ)⁻¹ mod nᵢ) mod N，其中 (N/nᵢ)⁻¹ 是 N/nᵢ模 nᵢ的逆元。
• 应用：将大数运算转化为小数运算（如 15 以内的数可通过模 3 和模 5 的余数表示）。

离散对数

1. 指标：设 p 是素数，g 是 p 的本原根（生成元），则对∀b∈Zₚ^*，存在唯一 i 使 gⁱ≡b mod p，i 称为 b 模 p 以 g 为底的指标（离散对数），记为 ind_gᵖ(b)。
2. 性质：类似对数，ind_g (ab)≡ind_g (a)+ind_g (b) mod (p-1)；ind_g (aᵏ)≡k・ind_g (a) mod (p-1)。
3. 困难性：已知 g,p,b 求 i（离散对数问题）在大素数下计算困难，是许多公钥算法的基础。

二次剩余

1. 二次剩余：若存在 x 使 x²≡a mod n，则 a 是模 n 的二次剩余；否则为非剩余。
2. Legendre 符号：对素数 p 和 a∉p，(a|p)=1（a 是二次剩余）、-1（非剩余）、0（p|a），计算式：(a|p)=a^((p-1)/2) mod p。
3. Jacobi 符号：Legendre 符号的推广，用于合数模，定义为 (a|n)=Π(a|pᵢ)（n=Πpᵢ^k），可通过互反律简化计算。

循环群

• 循环群：由单个元素 g 生成的群，即 G={gⁱ|i∈Z}，g 为生成元。
• 性质：子群仍是循环群；Lagrange 定理（子群阶整除群阶）；n 阶循环群中，元素 gᵏ的阶为 n/gcd (k,n)；生成元满足 gcd (k,n)=1。

循环群的选取

• 实际应用中常用循环群：Zₚ^* 的子群（p 为素数）、椭圆曲线群等，要求生成元的阶为大素数，确保离散对数问题困难。

双线性映射

• 映射 e:G₁×G₂→G₃（G₁,G₂,G₃为阶 q 的群），满足：
  • 双线性：e (aP,bQ)=e (P,Q)^(ab)；
  • 非退化性：e (P,Q)≠1（单位元）；
  • 可计算性：存在有效算法计算 e (P,Q)。
• 例子：Weil 配对、Tate 配对，应用于短签名、身份加密等。

计算复杂性

1. 时间复杂度：
   • O (f (n))：渐近上界；o (f (n))：非紧确上界；
   • 多项式时间（O (nᵏ)）：“容易” 问题；指数时间（O (2ⁿᵏ)）：“困难” 问题。
2. 问题类：
   • P：多项式时间可解；
   • NP：多项式时间可验证解；
   • NPC：NP 中最难问题，若任一 NPC 问题有多项式解，则 P=NP。
3. 可忽略函数：增长慢于任何多项式的逆（如 2⁻ⁿ）；概率多项式时间（PPT）算法：运行时间为多项式，允许随机选择。

公钥密码体制的基本概念

1. 原理：使用一对密钥（公钥 PK 和私钥 SK），加密用 PK，解密用 SK；已知 PK 求 SK 计算困难。
2. 要求：
   • 产生 PK 和 SK 容易；
   • 加密（c=E (PK,m)）和解密（m=D (SK,c)）容易；
   • 由 PK 求 SK 困难；
   • 由 c 和 PK 恢复 m 困难；
   • 可选：加解密可交换（E (PK,D (SK,m))=m）。
3. 陷门单向函数：正向计算容易，逆向计算困难，但若已知陷门信息则逆向容易（公钥密码的核心）。
4. 攻击：穷搜索（需足够长密钥）、可能字攻击（通过已知明文猜测密钥）。

RSA 算法

1. 密钥产生：
   • 选大素数 p、q，计算 n=pq，φ(n)=(p-1)(q-1)；
   • 选 e（1<e<φ(n)，gcd (e,φ(n))=1），求 d=e⁻¹ mod φ(n)；
   • 公钥 (PK)=(e,n)，私钥 (SK)=(d,n)。
2. 加解密：
   • 加密：c=mᵉ mod n（m<n）；
   • 解密：m=cᵈ mod n。
   • 正确性：由欧拉定理，若 gcd (m,n)=1，则 m^(e・d)≡m mod n；若 m 与 n 不互素，仍可证明成立。
3. 计算优化：快速指数算法（降低模指数复杂度）；中国剩余定理（加速解密，分解计算 m mod p 和 m mod q）。
4. 安全性：基于大整数分解困难性（若 n 被分解，可求 φ(n) 和 d）；需保证 p 和 q 足够大（1024-2048 比特），且 p 和 q 差距小、有大素因子。
5. 攻击：共模攻击（多用户用同一 n）、低指数攻击（e 过小且多用户加密同一 m）。

背包密码体制

1. 背包问题：给定背包向量 A=(a₁,…,aₙ) 和容积 s，求子集 A’ 使和为 s（NPC 问题）。
2. 超递增背包：aᵢ>Σₖ₌₁ⁱ⁻¹aₖ，可通过贪婪算法求解（从最大元素开始判断是否包含）。
3. 公钥构造：
   • 私钥：超递增背包 A，模数 M（M>Σaᵢ），乘数 w（gcd (w,M)=1）；
   • 公钥：B=(w・a₁ mod M,…,w・aₙ mod M)。
4. 加解密：
   • 加密：c=Σxᵢ・bᵢ（x 为明文二进制）；
   • 解密：s=c・w⁻¹ mod M，用贪婪算法解超递增背包得 x。
5. 缺陷：已被破译（无需陷门可还原超递增背包）。

Rabin 密码体制

1. 特点：破译等价于大整数分解；加密指数 e=2。
2. 密钥产生：选大素数 p≡3 mod 4，q≡3 mod 4，n=pq；公钥 n，私钥 (p,q)。
3. 加解密：
   • 加密：c=m² mod n；
   • 解密：解 x²≡c mod n，等价于解 x²≡c mod p 和 x²≡c mod q，由 p≡3 mod 4，根为 ±c^((p+1)/4) mod p，再用 CRT 合并得 4 个解，需通过冗余信息确定正确明文。

NTRU 公钥密码系统

1. 基础：多项式环 Z [x]/(xⁿ-1)，参数 (n,p,q)（p,q 为素数，q>p²）。
2. 密钥产生：
   • 选 f,g∈L（L 为低重量多项式集合），求 f⁻¹ mod p 和 f⁻¹ mod q；
   • 公钥 h=p・f⁻¹ mod q・g mod q；私钥 (f,f⁻¹ mod p)。
3. 加解密：
   • 加密：选 r∈L，c=(h・r + m) mod q（m 为明文多项式）；
   • 解密：a=f・c mod q，b=a mod p，m=f⁻¹ mod p・b mod p。

椭圆曲线密码体制（ECC）

1. 椭圆曲线：方程 y²=x³+ax+b（a,b∈GF §，4a³+27b²≠0），点集 Eₚ(a,b) 包括无穷远点 O，对加法构成 Abel 群。
   • 加法规则：三点共线则和为 O；P+Q 的坐标通过直线交点计算；2P 为切线交点的逆。
2. 椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）：已知 P,kP∈Eₚ(a,b)，求 k，比有限域离散对数更困难。
3. 应用：
   • Diffie-Hellman 密钥交换：双方共享 G，选私钥 kₐ,k_b，计算公钥 kₐG,k_bG，共享密钥 kₐk_bG；
   • ElGamal 加密：公钥 kG，加密 (c₁= rG, c₂= m + rkG)，解密 m= c₂ - kc₁。
4. 优点：安全性高（160 比特 ECC≈1024 比特 RSA）、密钥短、运算快。

SM2 椭圆曲线公钥密码加密算法

1. 标准：中国商用算法，基于素数域 GF §，参数包括 p,a,b,G,n（G 的阶）,h（余因子）。
2. 密钥产生：私钥 d∈[1,n-2]，公钥 Q=dG。
3. 加解密：
   • 加密：选 k∈[1,n-2]，c₁=kG，c₂=(M || t)（t=KDF (x₂||y₂, len (M))），c₃=Hash (x₂||M||y₂)，密文 (c₁,c₂,c₃)；
   • 解密：计算 d c₁=(x₂,y₂)，t=KDF (x₂||y₂, len (c₂))，M’=c₂||t，验证 Hash (x₂||M’||y₂)=c₃，输出 M’。
4. 特点：使用 SM3 哈希函数，参数含用户特异性信息，安全性更高。