今日格言：如果凡事缺少了实行的勇气，再有智慧与仁爱也是枉然。

思维导图

场论初步

场就是空间区域$\Omega$上的一种对应法则。可分为：数量场和向量场。
比如一个数量函数$u=u(x,y,z)$，可以表示一个温度场，温度场只讲大小，不讲方向。
如果$\Omega$上的每一点$M(x,y,z)$都对应一个向量$F$，则在$\Omega$上就确定了一个向量函数
$$F(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$$
它表示一个向量场，比如引力场，引力场既讲大小也讲方向。

方向导数

定义：设三元函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某空间邻域内有定义，$l$为从点$P_0$出发的射线，$P(x,y,z)$为$l$上且在U内的任一点，则：
$$\{\begin{array}{ll}x-x_0=\Delta x=t\cos \alpha ,& \\ y-y_0=\Delta y=t\cos \beta ,& \\ z-z_0=\Delta z=t\cos \gamma .& \end{array}$$
则以$t=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$表示$P与P_0$之间的距离，
若极限：
$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u(P)-u(P_0)}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \alpha ,z_0+t\cos \alpha )-u(x_0,y_0,z_0)}{t}$$
存在则称此极限为函数$u(x,y,z)$在点$P_0$沿方向$\mathbf{l}$的方向导数，记作${\frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}|}_{P_0}$。
显然，这是定义式，简而言之就是函数的增量与这两点距离的比值。

梯度

散度与旋度