Jaccard 相似度（Jaccard Similarity） 是一种用于衡量两个集合之间相似程度的指标，广泛应用于信息检索、文本挖掘、推荐系统和自然语言处理等领域。

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✅ 定义：

给定两个集合 $A$ 和 $B$，Jaccard 相似度定义为它们的交集大小与并集大小的比值：

$$\text{Jaccard Similarity}(A,B)=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$$

• $|A\cap B|$：集合 $A$ 和 $B$ 中共同元素的数量
• $|A\cup B|$：集合 $A$ 和 $B$ 中所有不同元素的总数

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📌 取值范围：

• Jaccard 相似度的取值范围在 0 到 1 之间：
  • 0：表示两个集合没有交集，完全不相似；
  • 1：表示两个集合完全相同，完全相似。

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🔍 举例说明：

假设：

• A={apple,banana,orange}A = \{\text{apple}, \text{banana}, \text{orange}\}A={apple,banana,orange}
• B={banana,grape,orange,pear}B = \{\text{banana}, \text{grape}, \text{orange}, \text{pear}\}B={banana,grape,orange,pear}

那么：

• A∩B={banana,orange}A \cap B = \{\text{banana}, \text{orange}\}A∩B={banana,orange} → 大小为 2
• A∪B={apple,banana,orange,grape,pear}A \cup B = \{\text{apple}, \text{banana}, \text{orange}, \text{grape}, \text{pear}\}A∪B={apple,banana,orange,grape,pear} → 大小为 5

计算：

$$\text{Jaccard Similarity}(A,B)=\frac{2}{5}=0.4$$

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🧠 应用场景：

1. 文本相似度比较：将两段文本视为词集合，计算它们的 Jaccard 相似度，判断内容是否相似。
2. 关键词匹配：比较两个文档或查询的关键词集合之间的重合度。
3. 推荐系统：评估用户兴趣集合之间的相似性。
4. 模型输出分析：如你之前提到的内容中，用来比较 LLM 不同层前后映射出的 top-k token 的变化情况。
5. 数据去重/聚类：识别重复或高度相似的数据项。

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⚠️ 局限性：

• 不考虑频率：Jaccard 只关心元素是否存在，不考虑出现次数（即它是基于集合而不是多重集合或多袋模型 bag-of-words）。
• 对大规模集合计算效率低：当集合很大时，计算交集和并集可能较慢。

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💡 扩展概念：

• Jaccard 距离：用来衡量两个集合的不相似程度，公式为：
  $$\text{Jaccard Distance}=1-\text{Jaccard Similarity}$$

• Tanimoto 系数：有时也被称作 Jaccard 相似度，但通常用于向量空间中的一种扩展形式。