见：P1577 切绳子 - 洛谷

题目描述

有 N 条绳子，它们的长度分别为 Li。如果从它们中切割出 K 条长度相同的绳子，这 K 条绳子每条最长能有多长？答案保留到小数点后 2 位(直接舍掉 2 位后的小数)。

输入格式

第一行两个整数 N 和 K，接下来 N 行，描述了每条绳子的长度 Li 。

输出格式

切割后每条绳子的最大长度。答案与标准答案误差不超过 0.01 或者相对误差不超过 1% 即可通过。

输入输出样例

in：
4 11
8.02
7.43
4.57
5.39
out：
2.00

说明/提示

对于 100% 的数据 0<Li≤100000.00,0<n≤10000,0<k≤10000

第一步

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int q=1e4+5;
int n,k;
double z[q];bool ch(double x){int ans=0;for(int i=0;i<n;i++){ans+=floor(z[i]/x);if(ans>=k) return true;}return false;
}int main(){cin>>n>>k;for(int i=0;i<n;i++) cin>>z[i];double l=0,r=1e9;while(r-l>=1e-4){double mid=l+(r-l)/2;if(ch(mid)) l=mid;else r=mid;}printf("%.2f",floor(l*100)/100);return 0;
}

第二步

分析

问题背景与应用场景

这个问题在现实生活中有很多应用场景，比如：

电缆切割：将不同长度的电缆切割成若干等长的小段，以满足至少k段的需求，同时最大化每段的长度。
土地划分：将不同面积的土地划分为至少k块相等面积的小地块，求最大可能的地块面积。
布料裁剪：将不同长度的布料裁剪成至少k条等长的布条，以最大化每条布条的长度。

代码详细分析

全局变量与常量定义

const int q=1e4+5;
int n,k;
double z[q];

q是一个常量，表示数组的最大长度，这里设置为 10005，足够处理题目中可能出现的最大数据量。
n和k是两个整数变量，分别表示材料的数量和需要切割出的段数。
z[q]是一个双精度浮点数数组，用于存储每个材料的长度。

核心判断函数`ch(double x)`

bool ch(double x){int ans=0;for(int i=0;i<n;i++){ans+=floor(z[i]/x);if(ans>=k) return true;}return false;
}

这个函数的作用是判断是否可以将所有材料切割成至少k段，每段长度为x。具体逻辑如下：

初始化计数器ans为 0。
遍历每个材料，计算该材料可以切割出多少段长度为x的小段，使用floor(z[i]/x)确保结果为整数。
累加每段材料可切割的段数到ans中。
如果在遍历过程中发现ans已经达到或超过k，则立即返回true，表示可以切割出足够的段数。
如果遍历完所有材料后ans仍小于k，则返回false。

主函数`main()`

int main(){cin>>n>>k;for(int i=0;i<n;i++) cin>>z[i];double l=0,r=1e9;while(r-l>=1e-4){double mid=l+(r-l)/2;if(ch(mid)) l=mid;else r=mid;}printf("%.2f",floor(l*100)/100);return 0;
}

主函数实现了二分查找算法，用于找到最大的可行切割长度，具体步骤如下：

读取输入数据：首先读取材料数量n和需要切割的段数k，然后读取每个材料的长度并存储在数组z中。
初始化二分查找的左右边界：左边界l初始化为 0，右边界r初始化为一个足够大的值（1e9），确保包含所有可能的答案。
执行二分查找：在r-l >= 1e-4的条件下循环，这个条件控制了二分查找的精度，当左右边界的差距小于 1e-4 时停止循环。
计算中间值mid：使用l + (r - l) / 2计算中间值，避免直接使用(l + r) / 2可能导致的溢出问题。
判断中间值是否可行：调用ch(mid)函数，如果返回true，说明中间值mid是一个可行解，更新左边界l = mid；否则更新右边界r = mid。
输出结果：循环结束后，l的值即为所求的最大可行切割长度，但需要保留两位小数。使用floor(l*100)/100确保结果精确到小数点后两位，然后使用printf("%.2f", ...)输出结果。

算法思路与二分查找的应用

这个问题的核心思路是利用二分查找来高效地找到最优解。二分查找适用于这种最大化最小值或最小化最大值的问题，其关键在于能够快速判断一个给定的值是否可行。

具体来说，二分查找的应用场景需要满足以下条件：

解空间具有单调性：在这个问题中，如果长度x是可行的，那么所有小于x的长度也都是可行的；反之，如果长度x不可行，那么所有大于x的长度也都不可行。
存在明确的判断条件：通过ch函数可以快速判断一个给定的长度是否可行。

二分查找的时间复杂度是 O (log (max_length))，其中 max_length 是右边界的值。在每次迭代中，需要遍历所有材料一次，时间复杂度为 O (n)，因此总的时间复杂度为 O (n log (max_length))，这使得算法在处理大规模数据时仍然高效。

精度控制与输出处理

在处理浮点数二分查找时，精度控制是一个关键问题。代码中使用r - l >= 1e-4作为循环条件，确保结果的精度在小数点后四位。这是因为在实际应用中，我们通常只需要保留两位小数的结果，而额外的精度可以避免由于浮点数计算误差导致的结果偏差。

输出处理部分使用了floor(l*100)/100来确保结果精确到小数点后两位。这是因为直接使用%.2f格式化输出可能会进行四舍五入，而题目要求是直接截断到两位小数。例如，如果计算结果是 3.149，floor(3.149*100)/100会得到 3.14，而不是 3.15。

代码优化与扩展

输入验证

当前代码没有对输入进行验证，在实际应用中可以添加输入验证以增强代码的健壮性。例如：

if (k <= 0) {cout << "Error: k must be a positive integer." << endl;return 1;
}

右边界优化

初始右边界设置为 1e9 可能过大，可以根据输入数据动态设置右边界，例如：

double max_z = 0;
for(int i=0;i<n;i++) {cin>>z[i];max_z = max(max_z, z[i]);
}
double l=0, r=max_z;

这样可以减少二分查找的迭代次数，提高效率。

处理无解情况

如果所有材料的总长度小于k，则无论如何都无法切割出k段，此时应输出 0。可以在开始时添加检查：

double sum = 0;
for(int i=0;i<n;i++) {sum += z[i];
}
if (sum < k) {cout << "0.00" << endl;return 0;
}

代码可读性优化

可以添加注释来提高代码的可读性，例如：

// 检查是否可以将所有材料切割成至少k段，每段长度为x
bool ch(double x){// ... 函数体 ...
}// 主函数：二分查找最大可行切割长度
int main(){// ... 主函数体 ...
}

复杂度分析

时间复杂度：O (n log (max_length))，其中 n 是材料的数量，max_length 是右边界的值。
空间复杂度：O (n)，主要用于存储材料长度的数组。

测试用例

以下是一些测试用例，可以帮助验证代码的正确性：

基本测试：
- 输入：n=3, k=4, z=[10, 20, 30]
- 输出：15.00
- 解释：每段长度为 15 时，可切割出0+1+2=3段，不足 4 段；每段长度为 14 时，可切割出0+1+2=3段，不足 4 段；每段长度为 13 时，可切割出0+1+2=3段，不足 4 段；每段长度为 12 时，可切割出0+1+2=3段，不足 4 段；每段长度为 11 时，可切割出0+1+2=3段，不足 4 段；每段长度为 10 时，可切割出1+2+3=6段，满足条件，且为最大可行长度。
边界测试：
- 输入：n=1, k=1, z=[5.0]
- 输出：5.00
- 解释：只有一段材料，长度为 5，切割成 1 段，最大长度为 5。
精度测试：
- 输入：n=2, k=3, z=[1.0, 2.0]
- 输出：0.66
- 解释：每段长度为 0.66 时，可切割出1+3=4段，满足条件；每段长度为 0.67 时，可切割出1+2=3段，满足条件，但 0.67 不是最大可行长度，最大可行长度为 0.666...，截断后为 0.66。