决策树

Intro

  • 归纳学习（Inductive Learning）的目标：从训练数据中学习一般规则，应用于未见过的数据。

  • 决策树是一个树形结构，其中：

    • 每个分支节点表示一个属性上的选择（即决策条件）。
    • 每个叶节点表示一个分类或决策结果。

  • 可以从决策树提取从根到叶的路径，这种逻辑表达就是决策规则

    在这里插入图片描述

  • 决策树学习的目标和主要算法：

    • 目标：从训练数据中归纳出决策树，用于分类或决策。
    • 学习算法：
      • CLS（概念学习系统）：早期的决策树算法。
      • ID3 → C4 → C4.5 → C5：ID3的演化路径，逐步改进。
    • 适用场景：
      1. 数据以属性-值对表示（例如，Outlook=sunny）。
      2. 目标函数输出离散值（例如，Yes/No）。
      3. 可能需要析取描述（即复杂的逻辑组合）。
      4. 训练数据可能包含错误。
      5. 训练数据可能有缺失的属性值。

CLS 算法（Concept Learning System）

核心思想：

CLS 使用一种递归方式构建决策树，不考虑划分属性的优劣。

算法步骤：
  1. 初始化：将整个训练集 T T T 作为一个节点。
  2. 若 T T T 中所有样本都是正类，生成正类叶子节点。
  3. 若所有样本是负类，生成负类叶子节点。
  4. 否则，从候选属性中任选一个属性 X X X，按其取值将 T T T 划分为子集 T 1 , T 2 , . . . , T n T_1, T_2, ..., T_n T1​,T2​,...,Tn​。
  5. 对每个子集递归执行上面步骤。
存在问题：
  • 不考虑属性的好坏，导致树结构不优（可能过深或过宽）；
  • 无法处理数据噪声和过拟合问题；
  • 没有“剪枝”（Pruning）机制。

ID3（信息论驱动的改进）

ID3 是对 CLS 的改进版本，由 Ross Quinlan 提出，核心引入了**信息增益（Information Gain）**来选择划分属性。

主要思想：

优先选择能够最大程度减少分类不确定性的属性（即信息增益最大的属性）进行划分。

ID3 的算法流程：
  1. 从训练集 T T T 开始。
  2. 若所有样本同类，则创建叶子节点，标注该类。
  3. 否则，选择具有最高信息增益的属性 A A A 进行划分。
  4. 根据 A A A 的各个取值 v 1 , . . . , v n v_1, ..., v_n v1​,...,vn​，划分成子集 T 1 , . . . , T n T_1, ..., T_n T1​,...,Tn​。
  5. 对每个 T i T_i Ti​ 递归执行以上步骤。
信息增益和熵的定义

ID3 需要评估每个属性的信息增益。

熵 Entropy（衡量数据的混乱程度）：

对于二分类问题：
Entropy ( S ) = − p 1 log ⁡ 2 p 1 − p 2 log ⁡ 2 p 2 \text{Entropy}(S) = -p_1 \log_2 p_1 - p_2 \log_2 p_2 Entropy(S)=−p1​log2​p1​−p2​log2​p2​

  • p 1 p_1 p1​：属于类别1（例如“w”）的概率；
  • p 2 = 1 − p 1 p_2 = 1 - p_1 p2​=1−p1​：属于类别2（例如“e”）的概率。

熵越高，表示样本越混乱，越难以分类。如下两图，在二分类中，两类样本的频率（出现概率）越接近，表明系统更混乱，更难以分类。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

信息增益 Gain：

衡量使用属性 A A A 进行划分后熵的下降程度。
Gain ( S , A ) = Entropy ( S ) − ∑ v ∈ A ∣ S v ∣ ∣ S ∣ Entropy ( S v ) \text{Gain}(S, A) = \text{Entropy}(S) - \sum_{v \in A} \frac{|S_v|}{|S|} \text{Entropy}(S_v) Gain(S,A)=Entropy(S)−v∈A∑​∣S∣∣Sv​∣​Entropy(Sv​)

  • S S S：整个训练集；
  • S v S_v Sv​：属性 A A A 取值为 v v v 的子集；
  • 信息增益大的属性可以使数据集更快速地纯化（即更快得到单类子集）。
举例：
  • Hair 属性的 Gain = 0.199
  • Eye 属性的 Gain = 0.83
  • Height 的 Gain = 0

所以会优先选择 Eye 属性进行分裂。

ID3 的特性与限制
优点：
  • 利用信息增益来选择划分属性，构建效率高；
  • 可以自动选择最有“判别力”的属性。
缺点：
  • 容易过拟合训练数据；
  • 对噪声敏感；
  • 只能处理离散属性（除非先离散化）。
防止过拟合：剪枝（Pruning）

决策树容易变得过深，对训练集记忆性太强。解决方法是剪枝（做实验时发现，以下方法都是后剪枝，即训练出决策树后进行剪枝）：

剪枝类型：
Reduced Error Pruning（简化误差剪枝）：
  • 留出一个验证集；
  • 如果剪掉一个节点后在验证集上的准确率不下降，则剪掉它；
  • 持续剪枝直到无法提升准确率。
Rule Post-Pruning（规则后剪枝）：

  • 规则后剪枝是决策树学习中的一种剪枝方法，旨在通过将决策树转换为规则集并简化规则，从而提高模型的泛化能力，避免过拟合。以下是其详细步骤和原理：

    1. 完全生成决策树（允许过拟合）

    • 目标：基于训练数据完整地生成一棵决策树，不限制树的深度或节点数量（允许过拟合）。
    • 为什么：先让模型充分学习训练数据中的所有模式（包括噪声），后续再通过剪枝优化。
    • 结果：一棵庞大且复杂的树，在训练集上表现很好，但在测试集上可能表现较差（过拟合）。

    2. 将决策树转换为规则集

    • 方法：从根节点到每个叶子节点的路径，生成一条对应的规则。
      • 每条规则的格式：
        IF (条件1 AND 条件2 AND ...) THEN (类别 = 叶子节点类别)
      • 示例：
        IF (年龄 ≤ 30 AND 收入 = 高 AND 学生 = 是) THEN (购买 = 是)
    • 为什么转换为规则？
      • 规则比树结构更灵活，便于独立剪枝（可以单独删除某个条件）。
      • 规则可以重新排序或合并，进一步简化模型。

    3. 对每条规则进行剪枝（删除冗余条件）

    • 目标：删除规则中不必要的条件，提高规则的泛化能力。
    • 方法：
      1. 对每条规则，尝试依次删除一个前提条件（如删除收入 = 高）。
      2. 用验证集评估剪枝后的规则准确率：
        • 如果删除某个条件后，规则的准确率提升或不变，则保留剪枝。
        • 如果准确率下降，则恢复该条件。
      3. 重复上述过程，直到无法进一步优化。
    • 示例：
      • 原规则：
        IF (年龄 ≤ 30 AND 收入 = 高 AND 学生 = 是) THEN (购买 = 是)
      • 剪枝后可能变为：
        IF (学生 = 是) THEN (购买 = 是)（如果其他条件对准确率无贡献）

    4. 按准确率排序规则，并用于分类

    • 排序规则：将剪枝后的规则按估计准确率从高到低排序。
    • 分类策略：
      • 对于新样本，按顺序检查规则，一旦满足某条规则，则直接应用其类别预测。
      • 如果样本不匹配任何规则，可指定默认类别（如训练集中的多数类）。

    为什么规则后剪枝比直接剪树更好？

    1. 更灵活的剪枝：树的剪枝只能删除整个子树，而规则剪枝可以单独删除某个条件。
    2. 避免上下文依赖：在决策树中，节点的剪枝会影响整个子树，而规则相互独立。
    3. 可读性更强：规则形式更接近人类逻辑，便于理解和调整。
大规模数据处理：Windowing

在数据量太大无法一次处理时，可采用滑窗法（Windowing）：

  1. 随机选一个小子集（称为“窗口”）；
  2. 构建决策树；
  3. 扫描整个训练集，找出未正确分类的样本；
  4. 将这些“例外”加入窗口，重新构建树；
  5. 重复直到没有错误样本。
归纳偏置与奥卡姆剃刀

ID3 采用了一种“归纳偏置”：

  • 短树优于长树（偏好简单模型）；
  • 信息增益大的属性优先被选；
  • 贪心策略逐层构建，不回溯；

这种偏置体现了奥卡姆剃刀原则——优先选择最简单且解释力足够的模型。

C4.5

C4.5 的提出背景
为什么需要 C4.5？

ID3 是构建决策树的经典算法，但它存在如下问题：

  • 不能处理连续属性（如温度、身高）；
  • 对于有很多取值的属性（如日期），会过度偏向该属性（信息增益偏倚）；
  • 不支持剪枝（易过拟合）；
  • 不处理缺失属性值；
  • 无法结合属性的获取成本。

C4.5 正是为解决这些问题设计的，是 ID3 的自然扩展。

C4.5 相较 ID3 的主要改进
改进点描述
✅ 支持连续属性把连续值转化为二元测试，例如 “温度 > 72.3”
✅ 处理缺失值对缺失值进行推断或概率分配
✅ 使用增益率（Gain Ratio）避免信息增益偏向多值属性
✅ 后剪枝（Post-pruning）构建完整树后进行简化，防止过拟合
✅ 支持属性代价学习低代价且有效的树结构
✅ 转化为规则集提高可读性与泛化能力
处理连续属性（Continuous Attributes）
操作流程：
  1. 排序：将连续属性值排序。
  2. 候选划分点：找相邻样本中类标签变化的位置，设为候选切分点。
  3. 计算信息增益：对每个候选切分点计算信息增益。
  4. 选择最佳切分点：采用信息增益（或增益率）最大的位置。
例子：

属性：Temperature = [40, 48, 60, 72, 80, 90]
标签：PlayTennis = [No, No, Yes, Yes, Yes, No]

候选切分点：比如在 60 和 72 之间
生成新属性：Temperature > 66 ⇒ True/False

信息增益偏倚与增益率（Gain Ratio）
问题：

信息增益偏向于取值多的属性（例如日期：每次唯一 ⇒ 完全分开，但无泛化能力）。信息增益偏好高分支属性（取值多的属性），但这类属性可能没有实际分类价值。

解决方案：使用 增益率。

  • C4.5 算法引入了 增益率（Gain Ratio），它在信息增益的基础上增加了分裂信息（Split Information） 的归一化。

    （1）增益率的定义
    GainRatio ( S , A ) = Gain ( S , A ) SplitInformation ( S , A ) \text{GainRatio}(S, A) = \frac{\text{Gain}(S, A)}{\text{SplitInformation}(S, A)} GainRatio(S,A)=SplitInformation(S,A)Gain(S,A)​
    其中：

    • Gain ( S , A ) \text{Gain}(S, A) Gain(S,A) 是信息增益。
    • SplitInformation ( S , A ) \text{SplitInformation}(S, A) SplitInformation(S,A) 衡量属性分裂的均衡程度。

    （2）分裂信息（Split Information）

    分裂信息计算的是属性A的分裂方式对数据的分散程度：
    SplitInformation ( S , A ) = − ∑ i = 1 c ∣ S i ∣ ∣ S ∣ log ⁡ 2 ( ∣ S i ∣ ∣ S ∣ ) \text{SplitInformation}(S, A) = -\sum_{i=1}^{c} \frac{|S_i|}{|S|} \log_2 \left( \frac{|S_i|}{|S|} \right) SplitInformation(S,A)=−i=1∑c​∣S∣∣Si​∣​log2​(∣S∣∣Si​∣​)

    • 含义：
      • 如果 A A A 的取值分布均匀（如“ID”每个值只对应 1 个样本），则 SplitInformation \text{SplitInformation} SplitInformation 会很大，导致 GainRatio \text{GainRatio} GainRatio 降低。
      • 如果 A A A 的取值分布不均匀（如“性别”只有 2 个取值），则 SplitInformation \text{SplitInformation} SplitInformation 较小， GainRatio \text{GainRatio} GainRatio 受影响较小。
      • 有没有发现它的形式很像熵？也就是说，分出来的数据越分散，这个值越大（系统的熵高）。

    （3）增益率的作用

    • 惩罚取值过多的属性：
      • 例如“ID”或“日期”这样的属性，由于 SplitInformation \text{SplitInformation} SplitInformation 极大，其 GainRatio \text{GainRatio} GainRatio 会变得很小，从而降低被选中的概率。
    • 更倾向于选择泛化能力强的属性：
      • 例如“年龄”“收入”等取值适中、分类能力强的属性。
后剪枝（Post-Pruning）
动机：

构建完全树可能过拟合，因此需在训练后简化。

步骤：
  1. 训练阶段允许构建“过拟合”的完整树；
  2. 将树中每条路径转换为规则；
  3. 逐条移除前提条件（条件越少越泛化），若准确率提高则保留；
  4. 用验证集评估规则；
  5. 按准确率排序使用这些规则分类。
示例规则：
IF (Outlook = Sunny) AND (Humidity = High) THEN PlayTennis = No
IF (Outlook = Sunny) AND (Humidity = Normal) THEN PlayTennis = Yes
缺失属性值处理（Missing Values）
问题：

某些样本缺少属性 A 的取值，该如何参与树构建？

可选方案：
  1. 用 A 的 最常见取值 填补；
  2. 用 与当前类别一致的样本中最常见的 A 值 填补；
  3. 概率分布赋值：每个可能值分配一个概率，让样本“部分参与”每个子集。
考虑属性代价（Attribute Cost）

在实际应用中，不同属性的获取代价不同（如医疗检查）。

目标：

在保证分类精度的前提下，尽可能降低总成本。

代价感知的信息增益形式：

  • Tan & Schlimmer (1990)：
    Gain 2 ( S , A ) Cost ( S , A ) \frac{\text{Gain}^2(S, A)}{\text{Cost}(S, A)} Cost(S,A)Gain2(S,A)​

  • Nunez (1988)：
    2 Gain ( S , A ) − 1 ( Cost ( A ) + 1 ) w , w ∈ [ 0 , 1 ] \frac{2^{\text{Gain}(S, A)} - 1}{(\text{Cost}(A) + 1)^w}, \quad w \in [0, 1] (Cost(A)+1)w2Gain(S,A)−1​,w∈[0,1]

CART（分类与回归树）

CART 的核心特点
二元分裂（Binary Splitting）
  • 每个节点只分成2个子节点（即使属性有多个取值），形成二叉树结构。
    • 示例：
      • 对于“年龄”属性，CART 可能分裂为 年龄 ≤ 30 和 年龄 > 30，而不是像ID3/C4.5那样每个年龄值分一个分支。
    • 优点：
      • 简化树结构，避免多值属性带来的过拟合。
      • 更适合处理连续型变量（通过阈值划分）。
支持分类和回归
  • 分类任务：用**基尼指数（Gini Index）**或分类误差作为分裂标准。
  • 回归任务：用**均方误差（MSE）**或平均绝对误差（MAE）作为分裂标准。
    • 回归树示例：
      • 预测房价时，分裂条件可能是 面积 ≥ 100㎡，左右分支分别预测不同房价区间。
分裂标准

CART 的常见不纯度（Impurity）衡量标准：

标准名称公式特点
基尼指数（Gini） i ( N ) = ∑ i ≠ j P ( ω i ) P ( ω j ) = 1 − ∑ j P ( ω j ) 2 i(N) = \sum_{i \neq j} P(\omega_i) P(\omega_j) = 1 - \sum_j P(\omega_j)^2 i(N)=∑i=j​P(ωi​)P(ωj​)=1−∑j​P(ωj​)2计算高效，对类别分布敏感
分类误差（Misclassification Error） i ( N ) = 1 − max ⁡ j P ( ω j ) i(N) = 1 - \max_j P(\omega_j) i(N)=1−maxj​P(ωj​)对噪声鲁棒，但不平滑
熵（Entropy） i ( N ) = − ∑ j P ( ω j ) log ⁡ 2 P ( ω j ) i(N) = -\sum_j P(\omega_j) \log_2 P(\omega_j) i(N)=−∑j​P(ωj​)log2​P(ωj​)类似信息增益，但CART较少直接使用

实际应用中最常用的是基尼指数，因为：

  • 计算速度比熵快（无需对数运算）。
  • 对类别分布更敏感，容易生成更平衡的树。
剪枝策略：代价复杂度剪枝（Cost-Complexity Pruning）
  • 步骤：
    1. 先生成一棵最大的树（允许过拟合）。
    2. 通过交叉验证，逐步剪掉对模型性能贡献小的子树。
    3. 选择验证误差最小的树作为最终模型。
  • 优点：避免过拟合，提高泛化能力。
基尼指数（Gini Index）详解
定义

基尼指数衡量数据集的不纯度，值越小表示纯度越高：
Gini ( S ) = 1 − ∑ j = 1 k P j 2 \text{Gini}(S) = 1 - \sum_{j=1}^k P_j^2 Gini(S)=1−j=1∑k​Pj2​

  • P j P_j Pj​ 是类别 j j j 在数据集 S S S 中的比例。

  • 基尼增益（分裂后的不纯度减少量）：
    Δ Gini = Gini ( S ) − ( ∣ S L ∣ ∣ S ∣ Gini ( S L ) + ∣ S R ∣ ∣ S ∣ Gini ( S R ) ) \Delta \text{Gini} = \text{Gini}(S) - \left( \frac{|S_L|}{|S|} \text{Gini}(S_L) + \frac{|S_R|}{|S|} \text{Gini}(S_R) \right) ΔGini=Gini(S)−(∣S∣∣SL​∣​Gini(SL​)+∣S∣∣SR​∣​Gini(SR​))

计算示例

假设数据集 S S S（10 样本）：

年龄 ≤ 30购买（是/否）
是5 是，1 否
否2 是，2 否

  • 根节点的基尼指数：

    • P ( 是 ) = 7 10 P(\text{是}) = \frac{7}{10} P(是)=107​, P ( 否 ) = 3 10 P(\text{否}) = \frac{3}{10} P(否)=103​
    • Gini ( S ) = 1 − ( 7 10 2 + 3 10 2 ) = 0.42 \text{Gini}(S) = 1 - \left( \frac{7}{10}^2 + \frac{3}{10}^2 \right) = 0.42 Gini(S)=1−(107​2+103​2)=0.42

  • 分裂后左节点（年龄 ≤ 30）：

    • Gini ( S L ) = 1 − ( 5 6 2 + 1 6 2 ) ≈ 0.28 \text{Gini}(S_L) = 1 - \left( \frac{5}{6}^2 + \frac{1}{6}^2 \right) \approx 0.28 Gini(SL​)=1−(65​2+61​2)≈0.28

  • 分裂后右节点（年龄 > 30）：

    • Gini ( S R ) = 1 − ( 2 4 2 + 2 4 2 ) = 0.5 \text{Gini}(S_R) = 1 - \left( \frac{2}{4}^2 + \frac{2}{4}^2 \right) = 0.5 Gini(SR​)=1−(42​2+42​2)=0.5

  • 基尼增益：
    Δ Gini = 0.42 − ( 6 10 × 0.28 + 4 10 × 0.5 ) = 0.42 − 0.368 = 0.052 \Delta \text{Gini} = 0.42 - \left( \frac{6}{10} \times 0.28 + \frac{4}{10} \times 0.5 \right) = 0.42 - 0.368 = 0.052 ΔGini=0.42−(106​×0.28+104​×0.5)=0.42−0.368=0.052

    • 如果其他属性的增益更低，则选择“年龄 ≤ 30”作为分裂点。
CART vs ID3/C4.5 对比总结
特性CARTID3 / C4.5
分裂方式二元分裂（二叉树）多分支分裂（每个取值一个子节点）
适用任务分类 + 回归仅分类
划分标准基尼指数、分类误差信息增益、增益率
连续值处理自动通过阈值划分（如“年龄 ≤ 30”）需离散化
剪枝策略代价复杂度剪枝后剪枝（如规则后剪枝）
计算效率更高（基尼指数计算快）较低（需计算对数）

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Axure版AntDesign 元件库-免费版

Axure版AntDesign 元件库-免费版

AntDesign 元件库概述 一、AntDesign 元件库概述 添加图片注释，不超过 140 字（可选） AntDesign 是蚂蚁集团推出的企业级设计体系，在 Axure 中使用 AntDesign 元件库，可帮助设计师快速搭建符合现代企业级产品标准的高…
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MySQL锁机制全解析

MySQL锁机制全解析

MYSQL存储引擎支持的锁 InnoDB支持行级锁(row-level locking)和表级锁,默认为行级锁。MyISAM采用表级锁(table-level locking) 锁的基本分类 1. 按照锁的使用方式 , Mysql的锁大致分为共享锁和排它锁 a. 共享锁(S) 共享锁，Share lock，又称为读锁&am…
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图解Git中Rebase与Merge的区别

图解Git中Rebase与Merge的区别

文章目录 前言理解基本概念🔀 Git Merge：合并分支🔄 Git Rebase：重写历史 可视化理解工作流程实际应用场景与示例场景1：团队协作 - 使用Merge场景2：个人分支整理 - 使用Rebase冲突解决：两种策略…
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2 Qt中的空窗口外观设置和常用的基础部件

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Widget空窗口 this->setWindowTitle("我的窗口");//设置窗口标题this->resize(500,300);//设置窗口大小this->setFixedSize(500,300);//设置固定大小（无法拖拽） 此时，窗口大小发生改变，且窗口名称改变&#x…
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