题目

问题 2. (a)
$$u_t+3u_x-2u_y=x;u_t+x{u}_x+y{u}_y=x;$$
$$u_t+x{u}_x-y{u}_y=x;u_t+y{u}_x+x{u}_y=x;$$
$$u_t+y{u}_x-x{u}_y=x.$$

(b) 求解初值问题 $$u(x,y,0)=0$$.

解决题目

问题要求求解五个一阶线性偏微分方程的初值问题（IVP），初始条件均为 $$u(x,y,0)=0$$。每个方程的形式为 $$u_t+a{u}_x+b{u}_y=f$$，其中 $$a$$ 和 $$b$$ 可能是常数或函数，$$f=x$$。使用特征线法（method of characteristics）求解，沿特征线求解常微分方程组，并代入初始条件。

以下是每个方程的解，已验证满足原方程和初始条件 $$u(x,y,0)=0$$。解以 $$x,y,t$$ 表示。

(1) 方程 $$u_t+3u_x-2u_y=x$$

• 解： $$u(x,y,t)=xt-\frac{3}{2}{t}^2$$
• 验证：
  • $$u_t=x-3t$$, $$u_x=t$$, $$u_y=0$$
  • 左边：$$u_t$$