上周组委会发布了第十七届全国大学生数学竞赛通知，初赛暂定于2025年11月8日(星期六)上午9:00-11:30举行，同时今年新增了个亮点，针对与数学类的同学，即：
为提升全国大学生数学竞赛的含金量和公平性，并进一步促进各赛区各高校的参赛积极性，第17届起将对在第五轮学科评估中数学学科评估结果为A+的高校试行数学类决赛名额单列，单列名额原则上为 100 个。其中：北京大学基础名额为 22 个，清华大学、复旦大学、山东大学、浙江大学、中国科学技术大学、南开大学基础名额各为 13 个。上述各校以 200 名为报名基准，各校报名人数每减少 20 名，核减 1 个名额；报名人数每增加 40 名，奖励 1 个名额；各校总奖励名额不超过 5 个。
组委会对于决赛总人数原则上为1000人，其中数学专业类500人 （其中100人单列给在第五轮学科评估中数学学科评估结果为A+的高校） ，非数学专业类500人各赛区参加决赛的名额由全国大学生数学竞赛工作组讨论确定。
下面为同学们准备了一套数学类的模拟试题，由夌珏123同学命制的，本张试题仅供学习参考，出题人也保证了每道题都可以写出答案，尤其今年初赛相对比较激烈，组委会特意针对数学类拿出100个名额第五轮数学A+学科的大学，报名人数每增加 40 名，还要再奖励 1 个名额，所以大家继续加油，过段时间公布本试题解答。
第十七届全国大学生数学竞赛（数学类）初赛模拟试题
一、填空题．（本大题共 20 分，每小题 5 分）
（1）对于 n n n 维Euclid空间中行列式为 1 的正交变换所构成的特殊正交群 S O ( n ) SO(n) SO(n)，讨论空间维度 n n n 的取值 ‾ \underline{\qquad} ，使得群 S O ( n ) SO\left ( n\right ) SO(n)具有封闭的正规子群.（称 G ⊂ S O ( n ) G\subset SO\left ( n\right ) G⊂SO(n)是正规的，如果对单位球面上任意 x , y x,y x,y，存在 φ ∈ G \varphi \in G φ∈G使得 φ ( x ) = y \varphi \left ( x\right )=y φ(x)=y）
（2）计算积分
∫ 1 + ∞ d x ⌊ x ⌋ { x } 2 ⌊ 1 { x } ⌋ ( ⌈ x ⌉ + 1 + ⌊ 1 { x } ⌋ ) = ‾ . \int_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{\left \lfloor x\right \rfloor{\left \{ x\right \}}^{2}\left \lfloor \frac{1}{\left \{ x\right \}}\right \rfloor\left ( \left \lceil x\right \rceil+1+\left \lfloor \frac{1}{\left \{ x\right \}}\right \rfloor\right )}=\underline{\qquad}. ∫1+∞⌊x⌋{x}2⌊{x}1⌋(⌈x⌉+1+⌊{x}1⌋)dx=.
（3）令
f ( a , b , ϕ , θ ) = sin 2 θ sin 2 ϕ J 0 ( a cos θ sin ϕ ) J 0 ( b sin θ cos ϕ ) , f\left ( a,b,\phi ,\theta \right )=\sin 2\theta \sin 2\phi {J}_{0}\left ( a\cos \theta \sin \phi \right ){J}_{0}\left ( b\sin \theta \cos \phi \right ), f(a,b,ϕ,θ)=sin2θsin2ϕJ0(acosθsinϕ)J0(bsinθcosϕ),
其中 J 0 {J}_{0} J0是0阶的Bessel函数，求
∫ θ = 0 π 2 ∫ ϕ = 0 π 2 f ( a , b , ϕ , θ ) d ϕ d θ = ‾ . \int_{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{\phi =0}^{\frac{\pi }{2}}f\left ( a,b,\phi ,\theta \right )\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta =\underline{\qquad}. ∫θ=02π∫ϕ=02πf(a,b,ϕ,θ)dϕdθ=.
（4）求微分方程 x 2 y ′ ′ = ( 1 16 − x 2 ) y − x y ′ {x}^{2}y''=\left ( \dfrac{1}{16}-{x}^{2}\right )y-xy' x2y′′=(161−x2)y−xy′ 的通解为 ‾ . \underline{\qquad}. .
二、(10分) 证明：若 { a k } \left \{ {a}_{k}\right \} {ak}是实数列并且满足
∑ k = 1 ∞ ∣ a k ∣ k = ∞ , ∑ n = 1 ∞ ( ∑ k = 2 n − 1 2 n − 1 k ( a k − a k + 1 ) 2 ) < ∞ , \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\left| a_k \right|}{k}}=\infty ,\sum_{n=1}^{\infty}{\sqrt{\left( \sum_{k=2^{n-1}}^{2^n-1}{k}\left( a_k-a_{k+1} \right) ^2 \right)}}<\infty , k=1∑∞k∣ak∣=∞,n=1∑∞(k=2n−1∑2n−1k(ak−ak+1)2)<∞,
则
∫ 0 π ∣ ∑ k = 1 ∞ a k sin k x ∣ d x = ∞ . \int_{0}^{\pi }\left |\sum_{k=1}^{\infty }{a}_{k}\sin kx\right |\mathrm{d}x=\infty . ∫0π k=1∑∞aksinkx dx=∞.
三、 (10 分) 是否存在这样的函数：周期为$2\pi 的连续函数 的连续函数 的连续函数f\left ( x\right ) ，它的 F o u r i e r 级数在 ，它的Fourier级数在 ，它的Fourier级数在x=0 处是发散的，但 处是发散的，但 处是发散的，但{f}^{2}\left ( x\right ) 的 F o u r i e r 级数在 的Fourier级数在 的Fourier级数在\left [ 0,2\pi \right ]$一致收敛. 若存在则举例，若不存在试证明.
四、（15 分） 记 λ i ( A ) {\lambda }_{i}\left ( A\right ) λi(A)为 A ∈ M n A\in {M}_{n} A∈Mn的特征值，证明
∑ i = 1 n ∣ λ i ( A ) ∣ 2 ⩽ ( t r ( A A ∗ ) − 1 n ∣ t r ( A ) ∣ 2 ) 2 − 1 2 t r ( ( A A ∗ − A ∗ A ) 2 ) + 1 n ∣ t r ( A ) ∣ 2 \begin{aligned} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\left | {\lambda }_{i}\left ( A\right )\right |}^{2} \leqslant \sqrt{{\left ( \mathrm{tr}\left ( A{A}^{\ast }\right )-\frac{1}{n}{\left | \mathrm{tr}\left ( A\right )\right |}^{2}\right )}^{2}-\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left ( {\left ( A{A}^{\ast }-{A}^{\ast }A\right )}^{2}\right )}+\frac{1}{n}{\left | \mathrm{tr}\left ( A\right )\right |}^{2} \end{aligned} i=1∑n∣λi(A)∣2⩽(tr(AA∗)−n1∣tr(A)∣2)2−21tr((AA∗−A∗A)2)+n1∣tr(A)∣2
并给出等号成立的条件.
五、(15分) 若对 0 < a < b , a , b ∈ R 0< a< b,a,b\in \mathbb{R} 0<a<b,a,b∈R，且满足 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty }^{+\infty }f\left ( x\right )\mathrm{d}x=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1的非负函数 f ( x ) f\left ( x\right ) f(x)，求证：
∫ − ∞ + ∞ ( ∫ t − b t + b f ( x ) f ( t ) d x ) d t ⩾ ( 2 ⌈ b a ⌉ − 1 ) ∫ − ∞ + ∞ ( ∫ t − a t + a f ( x ) f ( t ) d x ) d t \int_{-\infty }^{+\infty }\left ( \int_{t-b}^{t+b}f\left ( x\right )f\left ( t\right )\mathrm{d}x\right )\mathrm{d}t\geqslant \left ( 2\left \lceil \frac{b}{a}\right \rceil-1\right )\int_{-\infty }^{+\infty }\left ( \int_{t-a}^{t+a}f\left ( x\right )f\left ( t\right )\mathrm{d}x\right )\mathrm{d}t ∫−∞+∞(∫t−bt+bf(x)f(t)dx)dt⩾(2⌈ab⌉−1)∫−∞+∞(∫t−at+af(x)f(t)dx)dt
六、(15分) 矩阵 A , B ∈ M n ( C ) A,B\in {M}_{n}\left ( \mathbb{C}\right ) A,B∈Mn(C)，证明： A , B A,B A,B可同时上三角化的充要条件是在有限集
B ( n 2 − 1 ) = { C 1 ⋯ C k ( A B − B A ) ∣ C i ∈ { A , B } } , \mathcal{B}\left( n^2-1 \right) =\left\{ C_1\cdots C_k\left( AB-BA \right) |C_i\in \left\{ A,B \right\} \right\} , B(n2−1)={C1⋯Ck(AB−BA)∣Ci∈{A,B}},
中的矩阵迹均为0，其中 i = 1 , … k , 0 ⩽ k ⩽ n 2 − 1 i=1,\dots k,0\leqslant k\leqslant {n}^{2}-1 i=1,…k,0⩽k⩽n2−1
七、(15分) 假设 F ( x ) F\left ( x\right ) F(x)和 g ( x ) g\left ( x\right ) g(x)连续且保证解的存在唯一性，当 x ≠ 0 x\ne 0 x=0时
x g ( x ) > 0 , F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t , G ( x ) = ∫ 0 x g ( t ) d t , G ( ± ∞ ) = ± ∞ , xg\left ( x\right )>0,F\left ( x\right )=\int_{0}^{x}f\left ( t\right )\mathrm{d}t,G\left ( x\right )=\int_{0}^{x}g\left ( t\right )\mathrm{d}t,G\left ( \pm \infty \right )=\pm \infty , xg(x)>0,F(x)=∫0xf(t)dt,G(x)=∫0xg(t)dt,G(±∞)=±∞,
且 0 < x < a 1 0< x< {a}_{1} 0<x<a1 时 F ( x ) < 0 F\left ( x\right )< 0 F(x)<0， a 2 < x < 0 {a}_{2}< x < 0 a2<x<0 时 F ( x ) > 0 F\left ( x\right )>0 F(x)>0，存在常数 M > max { a 1 , ∣ a 2 ∣ } M>\max \left \{ {a}_{1},\left | {a}_{2}\right |\right \} M>max{a1,∣a2∣} 和 k ′ < k k'< k k′<k 使得当 x > M x>M x>M 时 F ( x ) > k F\left ( x\right )>k F(x)>k，当 x < − M x<-M x<−M 时 F ( x ) < k ′ F\left ( x\right )< k' F(x)<k′，求证方程
d 2 x d t 2 + f ( x ) d x d t + g ( x ) = 0 \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^{2}}+f\left ( x\right )\frac{{\mathrm{d}}x}{\mathrm{d}{t}}+g\left ( x\right )=0 dt2d2x+f(x)dtdx+g(x)=0
至少有一条闭轨.
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