分层强化学习（Hierarchical Reinforcement Learning, HRL）最早一般视为1993 年封建强化学习的提出.

一、HL的基础理论

1.1 MDP

MDP（马尔可夫决策过程）：MDP是一种用于建模序列决策问题的框架，包含状态（state）、动作（action）、转移概率（transition probability）、奖励（reward）等要素。它假设系统在每个时间步的状态转移是马尔可夫的，即当前状态和动作决定了下一个状态的概率分布。MDP的时间步是固定的，每次状态转移都发生在相同的时间间隔内.

1.主要理论

• 马尔可夫决策过程（MDP）：强化学习的核心数学模型，包括状态、动作、奖励和转移概率。
• 贝尔曼方程：用于计算价值函数和最优策略的递推关系。
• 折扣因子与回报：通过折扣因子对未来的奖励进行折现，以计算长期回报。
• 策略与价值函数：策略定义了在每个状态下选择动作的方式，价值函数评估状态或动作的价值。
• 最优性与贝尔曼最优性方程：用于确定最优策略和最优价值函数

2. 算法分类

1.2 SMDP

SMDP（半马尔可夫决策过程）：SMDP是MDP的扩展，用于处理动作持续时间不固定的情况。在SMDP中，每个动作的执行时间（称为停留时间）是一个随机变量，状态在这段时间内保持不变。SMDP的状态转移不仅取决于当前状态和动作，还与动作的持续时间有关.

1. 定义

SMDP可以定义为一个五元组 (S,A,P,T,R)：

• S：状态集合。
• A：动作集合。
• P：状态转移概率，表示从状态 s 执行动作 a 转移到状态 s′ 的概率。
• T：动作的停留时间分布，表示动作持续的时间步数。
• R：奖励函数，表示在状态 s 执行动作 a 获得的即时奖励

2. 关键公式

• 期望回报：SMDP的目标是在不同时间间隔的任务中最大化长期期望回报。其回报函数包括时间间隔的折扣：

$$R=\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^{{\tau }_t}{r}_t$$
$\gamma$ 是折扣因子，${\tau }_t$​ 是动作持续的时间间隔

• Bellman方程：SMDP的值函数可以通过Bellman方程扩展为半马尔可夫形式。在给定策略 π 下，状态 s 的值函数表示为：
  $$V^{\pi }(s)={\mathbb{E}}_{\pi }[r(s,a)+{\gamma }^{\tau }{V}^{\pi }(s^{\prime })]$$

其中，$r(s,a)$ 是在状态 s 执行动作 a 的即时奖励，$\tau$ 是动作持续时间，s′ 是转移后的状态

• Q-learning扩展：SMDP中的Q-learning算法类似于标准的Q-learning，但需要考虑时间间隔的影响。其Q值更新公式为：

$$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha (r+{\gamma }^{\tau }\underset{a^{\prime }}{\max }Q(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a))$$

其中，α 是学习率

3. 分层架构

SMDP在分层强化学习中常用于建模高层策略和低层策略的不同时间尺度：

• 高层策略：负责选择长期目标或子任务，这些目标可能需要多个时间步来完成

• 低层策略：在较短的时间步内执行具体动作，以实现高层策略设定的目标

1.3 MDP和SMDP的异同

特性	MDP	SMDP
时间步	时间步是固定的，每次状态转移的时间间隔相同	时间步是可变的，每个动作的持续时间是一个随机变量
状态转移	转移概率仅依赖于当前状态和动作	转移概率不仅依赖于当前状态和动作，还与动作的持续时间有关
适用场景	适用于固定时间步的决策问题，如机器人每秒更新状态	适用于动作持续时间不固定的复杂任务，如无人机在目标区域盘旋
复杂度	相对简单，适合短时间跨度的任务	更复杂，适合长时间跨度或多步策略的任务
分层结构	通常不涉及分层	常用于分层强化学习，高层策略选择长期目标，低层策略执行具体动作

二、HRL

分层强化学习 的核心是通过层次化分解复杂任务，以提高学习效率和策略泛化能力。

层次结构：分层强化学习中通常存在多个层次，每个层次负责不同粒度的决策。高层次负责抽象和长期规划，而低层次负责具体操作和短期执行。

可提供的参考资料：

1. 《一文看尽系列：分层强化学习(HRL)经典论文全面总结》 ，腾讯云文章

2. 《分层强化学习（Hierarchical RL）》 ，华为云

3. 【Hierarchical RL】不允许你不了解分层强化学习（总结篇） ，腾讯云

2.1 Options框架

• 定义：将动作序列抽象为“选项”（Option），每个选项包含三个部分：初始状态集（Initiation Set）、内部策略（Policy）和终止条件（Termination Condition）。上层策略通过调用选项解决半马尔可夫决策过程（semi-MDP）(SMDP)。

• 优势：缩短时间步长，解决长序列任务的稀疏奖励问题。例如，导航任务中“移动到某区域”可视为一个选项.

• 细节： 将行动策略视为可选项（option），每个选项由三个部分组成：

  • 初始集（Initiation Set）：定义在哪些状态下可以选择该选项。
  • 政策（Policy）：定义在选项被激活期间如何进行行动选择。
  • 终止条件（Termination Condition）：定义何时结束该选项。

• 理论支持：由于选项可能会持续不定长时间，因此分层强化学习常用SMDP来建模，这种模型允许动作（即选项）具有可变长度的持续时间。

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选项（Options），也被称为技能 或者 宏操作，是一种具有终止条件的子策略。它观察环境并输出动作，直到满足终止条件为止。终止条件是一类时序上的隐式分割点，来表示相应的子策略已经完成了自己的工作，且顶层的选项策略（Policy-Over-Action）需要切换至另一个选项。
给定一个状态集为 S、动作集为 A 的 MDP，选项$\omega \in \Omega$被定义为三元组$(I_{\omega },{\pi }_{\omega },{\beta }_{\omega })$，其中 $I_{\omega }\subseteq S$ 为一组初始状态集，${\pi }_{\omega }:S\times A\to [0,1]$ 是一个选项内置策略，而 ${\beta }_{\omega }:S\to [0,1]$ 是一个通过伯努利分布提供随机终止条件的终止函数。一个选项 $\omega$只有在 $s\in I_{\omega }$ 时，才能用于状态 s。

一个选项框架由两层结构组成：底层的每个元素是一个选项，而顶层则是一个选项策略，用来在片段开始或上个选项终结时候选择一个选项。选项策略从环境给出的奖励信息学习，而选项可通过明确的子目标来学习。

2.2 经典算法：Option-Critic Architecture

参考资料：

1. 《2 分层强化学习】Option-Critic》 ，知乎
2. B站视频《Option-Critic框架学习记录》
3. 论文《The Option-Critic Architecture》
4. 分层强化学习博客园，含案例，合集似乎很牛逼啊

选项-批判者结构（Option-Critic Architecture）(Bacon et al., 2017) 将策略梯度定理扩展至选项，它提供一种端到端的对选项和选项策略的联合学习。它直接优化了折扣化回报。我们考虑 选项-价值函数(1)，状态-选项对 (s, ω) 后执行某个动作的价值(2), 进入一个状态 s′ 时，执行 ω 的价值(3)

用于学习选项的随机梯度下降算法的结构如图 10.3 所示，其中梯度由定理 10.1 和定理 10.2给出,

图的解析：

• ${\pi }_{\Omega }$ 表示最顶层的策略，确定选择哪个option
• ${\pi }_{\omega }$ 内置函数,${\beta }_{\omega }$终止函数(停止当前的option选项)
  critic结构中的参数+上面3个参数都是需要学习的~
• 在option-critic 结构中，对于$s_t$由${\pi }_{\Omega }$选定option，由critic对其评估。当选定一个option，由其输出动作at. at与Environment交互，一方面返回即时奖励rt和下一状态$s_{t+1}$
• critic通过gradients指导option内的(${\pi }_{\omega }$和${\beta }_{\omega }$)的更新。

2.3 Feudal Reinforcement Learning（封建强化学习）

封建制网络（Feudal Networks，FuNs）是一个完全可微模块化的 FRL 神经网络，它有两个模块：管理者和工作者。管理者在一个潜在状态空间中更低的时间分辨率上设定目标，而工作者则学习如何通过内在奖励达到目标.

• 结构：模仿封建等级制度，上层智能体（Manager）设定子目标，下层智能体（Worker）执行具体动作。特征是“奖赏隐藏”和“信息隐层”，即下层仅关注局部状态.
  

2.4 MAXQ值函数分解

《Hierarchical Reinforcement Learning with the MAXQ Value Function Decomposition》

方法：将任务分解为子任务三元组（动作、终止状态、专属奖励函数），通过递归分解实现层次化策略。例如，导航任务可分解为“避开障碍”和“寻找奖励”子任务

2.5 HAM（分层抽象机)

HAM 全程 Hierarchical of abstraction machine

• 机制：通过状态转换机简化MDP，分为行为状态（执行动作）、调用状态（启动子任务）、选择状态（选择子任务）和停止状态

2.6 现代扩展方法

• HIRO：通过离线策略修正解决层次间非平稳性问题
• FuN（封建网络） ：自动发现子目标，结合LSTM处理长期依赖

HRL与gridworld实践

三、GridWorld环境设计

3.1 地图生成规则

• 网格结构：采用10x10网格，水平和垂直墙壁随机生成，保证地图连通性（任意两点存在可达路径）
• 障碍物生成：使用泊松圆盘采样算法生成非均匀分布的障碍物，确保障碍物之间最小间距为2格，避免死胡同
• 奖励机制：设置3个奖励点（+5、+3、+1），分布在障碍物稀疏区域，且不与起点重叠
• 动态要素：每局游戏随机初始化起点位置，若智能体进入奖励点后，该点奖励重置为0，防止重复刷分
• 参考地图，来源于文献
  

3.2 状态与动作空间

• 状态表示：包含坐标(x,y)、周围8格障碍物掩码（0/1）、最近奖励点方向向量（$\Delta x,\Delta y$）。
• 动作空间：基础动作为{上,下,左,右}，引入30%概率的动作噪声（如执行"上"可能实际向左偏移）。
• 观测限制：部分可观测设定，智能体仅能感知周围5x5区域内的状态

四、分层强化学习（HRL）算法设计

4.1 分层架构设计

层级	输入	输出	更新频率	算法选择
Manager	全局地图特征（Flatten后）	子目标坐标$(g_x,g_y)$	每10步	PPO (Actor-Critic)
Worker	局部观测+子目标相对坐标	基础动作	每步	DQN (Dueling Network)

核心机制：

• 子目标修正：Manager通过$g_t=clip(g_{t-1}+\Delta g,0,9)$动态调整子目标，避免突变。
• 内在奖励：Worker获得与子目标距离成反比的奖励 ，加速子任务完成
• 动态层次：当Worker连续5次未完成子目标时，Manager强制生成新子目标，防止局部震荡

4.2 奖励函数分解

• 全局奖励：$R_{global}=\sum r_{ext}-0.01\times t(到达奖励点+时间惩罚)$
• 分层奖励:

$$R_{Manager}={\lambda }_1{R}_{global}+{\lambda }_2{\mathbb{I}}_{goa{l}_{r}eached}$$
$$R_{Worker}=r_{int}-0.1\times {\mathbb{I}}_{collision}$$
其中，${\lambda }_1=0.7,{\lambda }_2=0.3$为权重系数。

4.3 网络结构