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行列式的线性性质(加法拆分)

这个性质说的是:如果行列式的某一行(或某一列)的所有元素都可以表示为两个数的和,那么这个行列式可以拆分成两个行列式的和。


数学表述

在这里插入图片描述


如何理解这个性质?

1. 从行列式的定义出发

行列式的定义是基于排列的求和:

det ⁡ ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ k = 1 n a k , σ ( k ) \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{k=1}^n a_{k,\sigma(k)} det(A)=σSnsgn(σ)k=1nak,σ(k)

如果某一行(如第 i i i 行)的元素可以写成 a i j = b i j + c i j a_{ij} = b_{ij} + c_{ij} aij=bij+cij
那么在计算行列式时,每一项都会包含 b i j b_{ij} bij c i j c_{ij} cij,因此可以拆分成两个行列式的和。


2. 几何直观

行列式表示的是矩阵列向量(或行向量)张成的“有向体积”。
如果某一行(列)可以拆分成两个部分,那么整个体积可以看作是两部分体积的叠加。

例子(2D 情况)

设行列式:

D = ∣ a b + b ′ c d + d ′ ∣ D = \begin{vmatrix} a & b + b' \\ c & d + d' \end{vmatrix} D= acb+bd+d

它可以拆分为:

D = ∣ a b c d ∣ + ∣ a b ′ c d ′ ∣ D = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b' \\ c & d' \end{vmatrix} D= acbd + acbd

几何上:

  • 第一个行列式计算的是向量 [ a c ] \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} [ac] [ b d ] \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} [bd] 张成的平行四边形面积。
  • 第二个行列式计算的是向量 [ a c ] \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} [ac] [ b ′ d ′ ] \begin{bmatrix} b' \\ d' \end{bmatrix} [bd] 张成的平行四边形面积。
  • 总和就是两个平行四边形面积的叠加。

3. 线性性质的表现

行列式对单一行(列)是线性的,即:
在这里插入图片描述



为什么不能拆多行或多列?

行列式的线性性质 仅适用于单一行(或列) 的拆分。

在这里插入图片描述


总结

  • 性质:如果行列式的某一行(或某一列)的所有元素都可以表示为两个数的和,则该行列式可以拆分成两个行列式的和。

  • 原因

    • 从定义看,行列式对单一行(列)是线性的仅适用于单一行(或列) 的拆分。
    • 从几何看,拆分行(列)相当于将体积拆分为两部分的和。
  • 限制只能拆单一行或单一列,不能同时拆多行或多列。

这个性质在行列式的计算和证明中非常有用,可以简化复杂行列式的求解。


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