一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 用3个“1”和4个“0”能组成（）个不同的二进制数字。

A. 35 B. 36, C. 37, D. 38

2. 整除300的正整数的个数为（　）。

A. 14　 B. 16　　　C. 18 D. 20

3. 由6个人围坐一周，有（）种坐法。

A. 3！， B. 4！， C. 5！， D. 6！

4. 在1到350中，能被11整除的整数的个数为（）。

A.30， B. 31， C.32， D. 33

5. 边长为1的正三角形中，放入（）个点，就一定能保证至少有两个点之间的距离小于等于1/3。

A. 4, B. 6, C.8, D. 10

二、解答题（第1小题5分，其他每小题10分，共85分）

1. 在格路模型中，求从点（0,0）出发，经过点（3,7），到达点（10,10）的格路条数？（5分）

解：格路条数为：

2. 求不含数字3和数字8，各位数字相异且大于5400的四位数的个数．（10分）

解：设所求的满足题意的四位数共有N个，它们可分成如下两类：

（1）千位数字为5的四位数因为百位数字可以是4，6，7，9类的四位数有

4·P(6，2)＝120个．

（2）千位数字大于5的四位数．因为干位数字可以是6，7，9这3个数之一，故属于此类的四位数有

3·P(7，3)＝630个

由加法原则得

N＝120十630＝750．

3. 从1，2，…，30中选取3个相异的正整数，使得它们的和能被3整除，有多少种选取方法? （10分）

解：设所求为N．以Ai(i＝0、l、2)表示由集合{1，2，…．30}中的除以3所得余数为i的整数所成之集，则|A0|＝|A1|=|A2|＝10．满足题意的N种选取方法可分成如下两类：

（1）使得所选3个整数都属于同一个Ai(i＝0，1，2)的选取方法，属于此类的选取方法共有

3C（10，3）＝360种．

（2）使得所选3个整数分别属于A0，Al，A2的选取方法，属于此类的选取方法共有

10 ×10×10＝1000种．

由加法原则得

N＝360十l000＝1360．

4.求由n(n≥2)个相异元1，2,…，n作成的1不排在第一位，2不排在第二位的全排列的个数。（10分）

解：设所求为N．因为由n(n≥2)个相异元1，2,…n作成的1不排在第一位的全排列共有(n—1) (n—1)!,其中2排在第二位的全排列有(n—2)·(n—2)!个，故

N＝(n一1)·(n—1)!一(n一2)·(n一2)!

＝(n2一3n十3)·(n一2)!．

5. 求从1至500的整数中能被7或11整除的整数的个数。（10分）

解：设所求为N．令S={1，2，…，500}，A、B分别表示S中能被7、能被11整除的整数所成之集，则

6. 求解递推关系：（10分）

解：特征方程：

特征根：

递推关系的通解：

，其中C1、C2是任意常数。

将初始条件代入得：

故递推关系的解为：

7. 利用母函数求解：若有1克砝码3枚、2克砝码4枚、4克砝码2枚的砝码各一枚，问能称出那几种重量？各有几种方案？（10分）

解：所求问题对应的母函数为

因此，能称出的重量为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19（克），共20种；其中称出重量为0，1，18，19（克）的方法数各为1种，称出重量为2，3，16，17（克）的方法数各为2种，称出重量为4，5，14，15（克）的方法数各为3种，称出重量为6，7，12，13（克）的方法数各为4种，称出重量为8，9，10，11（克）的方法数各为5种。

8．将一长木条等分成7块区域，如图所示，请利用波利亚计数定理，求：用3种颜色给每个区域着色，不同的着色方案有多少种？（10分）