122. 买卖股票的最佳时机 II

描述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。
最大总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
最大总利润为 4 。

示例 3

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0。

提示

• 1 <= prices.length <= 3 * 10^4
• 0 <= prices[i] <= 10^4

解题思路

这道题的核心思想是：由于可以进行多次买卖，我们需要抓住每一次股价上涨的机会来获得最大利润。

核心观察

1. 无限制交易：可以进行任意次数的买卖
2. 同一天可以买卖：先买再卖，或者先卖再买
3. 最多持有一股：不能同时持有多股
4. 目标：获得最大总利润

关键洞察

贪心策略：只要明天的价格比今天高，就今天买入明天卖出。这样可以捕获所有的价格上涨段。

算法实现

方法1：贪心算法（推荐）

func maxProfitGreedy(prices []int) int {maxProfit := 0for i := 1; i < len(prices); i++ {if prices[i] > prices[i-1] {maxProfit += prices[i] - prices[i-1]}}return maxProfit
}

原理：累加所有相邻的正收益。

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

方法2：动态规划

func maxProfitDP(prices []int) int {n := len(prices)dp := make([][2]int, n)dp[0][0] = 0          // 不持有股票dp[0][1] = -prices[0] // 持有股票for i := 1; i < n; i++ {dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])  // 卖出dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])  // 买入}return dp[n-1][0]
}

状态定义：

• dp[i][0]：第i天结束后不持有股票的最大利润
• dp[i][1]：第i天结束后持有股票的最大利润

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

方法3：动态规划（空间优化）

func maxProfitDPOptimized(prices []int) int {hold := -prices[0]  // 持有股票的最大利润sold := 0           // 不持有股票的最大利润for i := 1; i < len(prices); i++ {newSold := max(sold, hold+prices[i])newHold := max(hold, sold-prices[i])sold, hold = newSold, newHold}return sold
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

方法4：波峰波谷法

找到所有的波谷和波峰，在波谷买入，在波峰卖出。

func maxProfitPeakValley(prices []int) int {i, maxProfit := 0, 0for i < len(prices)-1 {// 找波谷for i < len(prices)-1 && prices[i+1] <= prices[i] {i++}valley := prices[i]// 找波峰for i < len(prices)-1 && prices[i+1] >= prices[i] {i++}peak := prices[i]maxProfit += peak - valley}return maxProfit
}

算法分析

复杂度对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
贪心算法	O(n)	O(1)	简洁高效，易理解	需要理解贪心思想
动态规划	O(n)	O(n)	状态转移清晰	空间开销大
动态规划优化	O(n)	O(1)	空间效率高	状态维护复杂
波峰波谷	O(n)	O(1)	直观易懂	代码稍复杂
状态机	O(n)	O(1)	逻辑清晰	理解成本高

算法流程图

贪心算法证明

命题：对于任意价格序列，贪心策略（累加所有正差值）能够获得最大利润。

证明：

1. 可行性：贪心策略产生的交易序列是合法的（每次买入后必须卖出才能再次买入）
2. 最优性：任何其他交易策略的利润都不会超过贪心策略

设最优解包含交易 (buy_i, sell_i)，其总利润为：

profit = Σ(sell_i - buy_i)

贪心策略的利润为：

greedy_profit = Σ(prices[i] - prices[i-1]) for all i where prices[i] > prices[i-1]

可以证明：greedy_profit >= profit

示例分析

示例1：prices = [7,1,5,3,6,4]

贪心分析：
第1天: 7 -> 第2天: 1，下跌，不交易
第2天: 1 -> 第3天: 5，上涨，利润 = 5-1 = 4
第3天: 5 -> 第4天: 3，下跌，不交易  
第4天: 3 -> 第5天: 6，上涨，利润 = 6-3 = 3
第5天: 6 -> 第6天: 4，下跌，不交易总利润 = 4 + 3 = 7

可视化：

价格走势图：7 |●|  \5 |   ●|    \3 |     ●---●|          \1 | ●         ●+--+--+--+--+--+1  2  3  4  5  天数交易策略：第2天买入(1) -> 第3天卖出(5)：利润4第4天买入(3) -> 第5天卖出(6)：利润3

动态规划详解

状态转移方程

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])

状态转移图

DP状态表（示例）

对于 prices = [7,1,5,3,6,4]：

天数	价格	不持有股票	持有股票	决策
0	7	0	-7	初始状态
1	1	0	-1	在第1天买入更优
2	5	4	-1	第2天卖出获利4
3	3	4	1	第3天买入
4	6	7	1	第4天卖出获利3
5	4	7	3	保持不持有状态

实际应用

1. 投资策略

• 短线交易：频繁买卖获取价差
• 波段操作：在价格波动中获利
• 算法交易：程序化交易系统

2. 类似问题

• 买卖股票的最佳时机系列题目
• 背包问题的变种
• 区间调度问题

3. 实际约束

在实际投资中还需考虑：

• 交易手续费
• 税收影响
• 市场流动性
• 价格滑点

代码实现要点

边界条件处理

if len(prices) <= 1 {return 0  // 少于2个价格无法交易
}

数组越界防护

for i := 1; i < len(prices); i++ {  // 从第2个元素开始// 安全访问 prices[i] 和 prices[i-1]
}

整数溢出考虑

对于极大数据，考虑使用 int64 或添加溢出检查。

练习建议

1. 理解贪心思想：为什么累加所有正差值是最优的？
2. 掌握状态转换：DP中两个状态如何相互转换？
3. 空间优化技巧：如何从O(n)优化到O(1)？
4. 扩展思考：如果有交易手续费怎么办？
5. 变种练习：限制交易次数的情况如何处理？

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• 309. 最佳买卖股票时机含冷冻期（含冷冻期）
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完整题解代码

package mainimport ("fmt""time"
)// 方法1：贪心算法 - 抓住每一次上涨机会
// 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)
func maxProfitGreedy(prices []int) int {if len(prices) <= 1 {return 0}maxProfit := 0// 只要第二天比第一天价格高，就在第一天买入，第二天卖出for i := 1; i < len(prices); i++ {if prices[i] > prices[i-1] {maxProfit += prices[i] - prices[i-1]}}return maxProfit
}// 方法2：动态规划
// 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)
func maxProfitDP(prices []int) int {if len(prices) <= 1 {return 0}n := len(prices)// dp[i][0] 表示第i天不持有股票的最大利润// dp[i][1] 表示第i天持有股票的最大利润dp := make([][2]int, n)// 初始状态dp[0][0] = 0          // 第0天不持有股票，利润为0dp[0][1] = -prices[0] // 第0天买入股票，利润为-prices[0]for i := 1; i < n; i++ {// 第i天不持有股票：可能是前一天就不持有，或者前一天持有今天卖出dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+prices[i])// 第i天持有股票：可能是前一天就持有，或者前一天不持有今天买入dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])}// 最后一天不持有股票肯定比持有股票利润更大return dp[n-1][0]
}// 方法3：动态规划（空间优化）
// 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)
func maxProfitDPOptimized(prices []int) int {if len(prices) <= 1 {return 0}// 只需要记录当前的状态，不需要整个数组hold := -prices[0] // 持有股票的最大利润sold := 0          // 不持有股票的最大利润for i := 1; i < len(prices); i++ {newSold := max(sold, hold+prices[i]) // 今天卖出newHold := max(hold, sold-prices[i]) // 今天买入sold = newSoldhold = newHold}return sold
}func max(a, b int) int {if a > b {return a}return b
}func main() {testCases := [][]int{{7, 1, 5, 3, 6, 4}, // 预期输出: 7{1, 2, 3, 4, 5},    // 预期输出: 4{7, 6, 4, 3, 1},    // 预期输出: 0{1, 2, 1, 2, 1},    // 预期输出: 2{5},                // 预期输出: 0{},                 // 预期输出: 0}fmt.Println("=== 买卖股票的最佳时机 II - 多种解法测试 ===")fmt.Println()methods := []struct {name stringfn   func([]int) int}{{"贪心算法", maxProfitGreedy},{"动态规划", maxProfitDP},{"动态规划(优化)", maxProfitDPOptimized},}for i, testCase := range testCases {fmt.Printf("测试用例 %d: %v\n", i+1, testCase)for _, method := range methods {start := time.Now()result := method.fn(testCase)duration := time.Since(start)fmt.Printf("  %s: %d (用时: %v)\n", method.name, result, duration)}fmt.Println()}// 算法思路演示fmt.Println("=== 算法思路演示 ===")demonstrateGreedyApproach([]int{7, 1, 5, 3, 6, 4})
}func demonstrateGreedyApproach(prices []int) {fmt.Printf("\n贪心算法思路演示:\n")fmt.Printf("价格数组: %v\n", prices)maxProfit := 0transactions := []string{}for i := 1; i < len(prices); i++ {if prices[i] > prices[i-1] {profit := prices[i] - prices[i-1]maxProfit += profittransaction := fmt.Sprintf("第%d天买入(%d) -> 第%d天卖出(%d), 利润: %d", i, prices[i-1], i+1, prices[i], profit)transactions = append(transactions, transaction)}}fmt.Println("交易记录:")for _, transaction := range transactions {fmt.Printf("  %s\n", transaction)}fmt.Printf("总利润: %d\n", maxProfit)
}